Question

【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名維修工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為 ． （Ⅰ）若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為x，求x的分布列；
（Ⅱ）該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于90%？
（Ⅲ）已知一名維修工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位維修工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤，若該廠現(xiàn)有2名維修工人，求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）一臺機器運行是否出現(xiàn)故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障設(shè)為A，則事件A的概率為 ，該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復(fù)試驗，因出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X， 故X～B ， ， ， ， ， ．
即X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

（Ⅱ）設(shè)該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障及時進行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個互斥事件的和事件，
則

n	0	1	2	3	4
P（x≤n）					1

∵ ，
∴至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不少于90%．
（Ⅲ）設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8， ， ， ，
即Y的分布列為：

Y	18	13	8
P

則 ，
故該廠獲利的均值為 ．
【解析】（I）利用二項分布列的性質(zhì)與計算公式即可得出．（Ⅱ）設(shè)該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障及時進行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個互斥事件的和事件，利用（I）的分布列即可得出．（Ⅲ）設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，利用（I）的分布列及其互斥事件的概率計算公式即可得出．