Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于點(diǎn)0，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F為垂足．設(shè)DC=m，AB=n．
（1）求證：△ACB≌△BDA；
（2）求四邊形DEFC的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知和平行線的性質(zhì)得出∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，推出OA=OB，OC=OD，求出AC=BD，根據(jù)SAS證三角形全等即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG∥BD，交AB延長(zhǎng)線于G，得出平行四邊形DCGB，推出等腰直角三角形ACG，求出AG長(zhǎng)，求出CF即可．
解答：（1）證明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB，
∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，
在△ACB與△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA．

（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CG∥BD，交AB延長(zhǎng)線于G，
∵DC∥AG．CG∥BD，
∴四邊形DBGC為平行四邊形，
∵△ACB≌△BDA，
∴AD=BC，
即梯形ABCD為等腰梯形，
∵AC=BD=CG，
∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG，
∴∠ACG=90°，AC=BD，CF⊥FG，
∴AF=FG，
∴CF=AG，又AG=AB+BG=m+n，
∴CF=．
又∵四邊形DEFC為矩形，故其周長(zhǎng)為：
2（DC+CF）=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．