Question

（2006•深圳）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，且C為的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），AE=8．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）連接MG、BC，求證：MG∥BC；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作⊙M的切線，交x軸于點(diǎn)P．動(dòng)點(diǎn)F在⊙M的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．

Answer 1

【答案】分析：（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)，即求出OC的長(zhǎng)．根據(jù)垂徑定理可得出弧CD=2弧AC，而題中已經(jīng)告訴了C是弧AE的中點(diǎn)，即弧AE=2弧AC，即弧CD=弧AE，因此CD=AE，那么OC=AE=4，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由于無(wú)法直接證明∠OMG=∠OBC來(lái)得出兩直線平行，因此可通過(guò)相似三角形來(lái)求解，可設(shè)出圓的半徑，然后分別求出OG、OM、OB的長(zhǎng)，然后通過(guò)證OG、OM，OC、OB對(duì)應(yīng)成比例來(lái)得出△OMG與△OBC相似來(lái)得出∠OMG=∠OBC，進(jìn)行得出所求的結(jié)論；
（3）OF與OP的比例關(guān)系不變，在直角三角形DMP中，根據(jù)射影定理有DM²=MO•MP，①同理可求出OD²=OM•OP；
②然后分三種情況：
A：F與A重合時(shí)，OF=OA，PF=PA，可根據(jù)②求出OP的長(zhǎng)根據(jù)①求出MP的長(zhǎng)即可求出OP的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出所求的比例關(guān)系；
B：F與B重合，同一；
C：F不與A、B重合．可通過(guò)相似三角形來(lái)求解．由于MF=DM，根據(jù)①可得出△OMF與△FMP相似，可得出．
綜合三種情況即可得出OF：PF的值．
解答：（1）解：方法（一）
∵直徑AB⊥CD，
∴CO=CD，
=，
∵C為的中點(diǎn)，
∴=，
∴=，
∴CD=AE，
∴CO=CD=4，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
方法（二）如圖1，連接BG，GM，連接CM，交AE于點(diǎn)N，
∵C為的中點(diǎn)，M為圓心，
∴AN=AE=4，
CM⊥AE，
∴∠ANM=∠COM=90°，
在△ANM和△COM中：
∵，
∴△ANM≌△COM（AAS），
∴CO=AN=4，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．

（2）證明：設(shè)半徑AM=CM=r，則OM=r-2，
由OC²+OM²=MC²得：
4²+（r-2）²=r²，
解得：r=5，（1分）
∴OM=r-OA=3
∵∠AOC=∠ANM=90°，
∠EAM=∠MAE，
∴△AOG∽△ANM，
∴，
∵M(jìn)N=OM=3，
即，
∴OG=，（2分）
∵，
，
∴，
∵∠BOC=∠BOC，
∴△GOM∽△COB，
∴∠GMO=∠CBO，
∴MG∥BC．

（3）解：如圖2，連接DM，則DM⊥PD，DO⊥PM，
∴△MOD∽△MDP，△MOD∽△DOP，
∴DM²=MO•MP；
DO²=OM•OP，
即4²=3•OP，
∴OP=．
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)：，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)：，
當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合時(shí)：連接OF、PF、MF，
∵DM²=MO•MP，
∴FM²=MO•MP，
∴，
∵∠AMF=∠FMA，
∴△MFO∽△MPF，
∴．
∴綜上所述，的比值不變，比值為．
點(diǎn)評(píng)：命題立意：考查坐標(biāo)系和圓的有關(guān)知識(shí)．