分析 (1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠1=∠2,直線AD垂直平分BC,求出FB=FC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3=∠4,求出AB=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3=∠5,即可得出答案;
(2)在FC上截取FN,使FN=FE,連接EN,求出∠EFM=∠CAM,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠EFM=60°,根據(jù)等邊三角形的判定得出△EFN是等邊三角形,求出∠FEN=60°,EN=EF,求出∠5=∠6,根據(jù)SAS推出△EFA≌△ENC,根據(jù)全等得出FA=NC,求出FC=2FD,即可得出答案.
解答 (1)證明:如圖1,
∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵AD⊥BC,
∴直線AD垂直平分BC,
∴FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB,
∴∠FBC-∠1=∠FCB-∠2,
即∠3=∠4,
∵等邊三角形ACE中,AC=AE,
∴AB=AE,
∴∠3=∠5,
∴∠4=∠5,
即∠FEA=∠FCA;
(2)FE+FA=2FD,
證明:在FC上截取FN,使FN=FE,連接EN,如圖2,
∵∠FME=∠AMC,∠5=∠4,
∴180°-∠5-∠FME=180°-∠4-∠AMC,
∴∠EFM=∠CAM,
∵等邊三角形ACE中,∠CAE=60°,
∴∠EFM=60°,
∵FN=FE,
∴△EFN是等邊三角形,
∴∠FEN=60°,EN=EF,
∵△ACE為等邊三角形,
∴∠AEC=60°,EA=EC,
∴∠FEN=∠AEC,
∴∠FEN-∠MEN=∠AEC-∠MEN,
即∠5=∠6,
在△EFA和∠ENC中,
{EF=EN∠5=∠6EA=EC
∴△EFA≌△ENC,
∴FA=NC,
∴FE+FA=FN+NC=FC,
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°,∠FBC=∠FCB,
∴∠FCB=12×60°=30°,
∵AD⊥BC,
∴∠FDC=90°,
∴FC=2FD,
∴FE+FA=2FD.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定,含30°角的直角三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵,難度偏大.
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