Processing math: 100%
2.已知:如圖,在等腰三角形ABC中,120°<∠BAC<180°,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D.以AC為邊作等邊三角形ACE,△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè),直線BE交直線AD于點(diǎn)F,連接FC交AE于點(diǎn)M. 
(1)求證:∠FEA=∠FCA;
(2)猜想線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

分析 (1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠1=∠2,直線AD垂直平分BC,求出FB=FC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3=∠4,求出AB=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3=∠5,即可得出答案;
(2)在FC上截取FN,使FN=FE,連接EN,求出∠EFM=∠CAM,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠EFM=60°,根據(jù)等邊三角形的判定得出△EFN是等邊三角形,求出∠FEN=60°,EN=EF,求出∠5=∠6,根據(jù)SAS推出△EFA≌△ENC,根據(jù)全等得出FA=NC,求出FC=2FD,即可得出答案.

解答 (1)證明:如圖1,

∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵AD⊥BC,
∴直線AD垂直平分BC,
∴FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB,
∴∠FBC-∠1=∠FCB-∠2,
即∠3=∠4,
∵等邊三角形ACE中,AC=AE,
∴AB=AE,
∴∠3=∠5,
∴∠4=∠5,
即∠FEA=∠FCA;

(2)FE+FA=2FD,
證明:在FC上截取FN,使FN=FE,連接EN,如圖2,
∵∠FME=∠AMC,∠5=∠4,
∴180°-∠5-∠FME=180°-∠4-∠AMC,
∴∠EFM=∠CAM,
∵等邊三角形ACE中,∠CAE=60°,
∴∠EFM=60°,
∵FN=FE,
∴△EFN是等邊三角形,
∴∠FEN=60°,EN=EF,
∵△ACE為等邊三角形,
∴∠AEC=60°,EA=EC,
∴∠FEN=∠AEC,
∴∠FEN-∠MEN=∠AEC-∠MEN,
即∠5=∠6,
在△EFA和∠ENC中,
{EF=EN5=6EA=EC
∴△EFA≌△ENC,
∴FA=NC,
∴FE+FA=FN+NC=FC,
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°,∠FBC=∠FCB,
∴∠FCB=12×60°=30°,
∵AD⊥BC,
∴∠FDC=90°,
∴FC=2FD,
∴FE+FA=2FD.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定,含30°角的直角三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵,難度偏大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△MNC,連接BM,那么BM的長(zhǎng)是6+2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.如圖,AB∥CD,∠AFE=125°,則∠C的度數(shù)為55°.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(-3,1),B(-1,1),C(-2,2),當(dāng)直線y﹦-12x+b與△ABC有公共點(diǎn)時(shí),b的取值范圍是( �。�
A.-1≤b≤12B.-1≤b≤1C.-12≤b≤1D.-12≤b≤12

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.估計(jì)與11最接近的整數(shù)是( �。�
A.3B.4C.-3D.±3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.計(jì)算:[(-3x2y42•x3-2x•(3x2y2313y2]÷9x7y8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

14.如圖四個(gè)圖案,它們繞中心旋轉(zhuǎn)180度后不能與原來(lái)的圖形互相重合的是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

11.已知命題“等角的補(bǔ)角相等”,則該命題的結(jié)論是這兩個(gè)角相等.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.如圖,在正六邊形ABCDEF中,對(duì)角線AE與BF相交于點(diǎn)M,BD與CE相交于點(diǎn)N.
(1)觀察圖形,寫出圖中與△ABM全等三角形;
(2)選擇(1)中的一對(duì)全等三角形加以證明.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案