如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為數(shù)學(xué)公式，tan∠ABC=數(shù)學(xué)公式，則CQ的最大值是


  1. A.
    5
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式
D
分析：根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC==，然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P，則可證得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC為直徑時(shí)，PC最長，此時(shí)CQ最長，然后把PC=5代入計(jì)算即可．
解答：∵AB為⊙O的直徑，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=，
∴=，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴=，
∴CQ=•PC=PC，
當(dāng)PC最大時(shí)，CQ最大，即PC為⊙O的直徑時(shí)，CQ最大，此時(shí)CQ=×5=．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湘潭）如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=
12
AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請?jiān)趫D2中畫出△PCD并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•德陽）如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為
5
2
，tan∠ABC=
3
4
，則CQ的最大值是（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年初中畢業(yè)升學(xué)考試（湖南湘潭卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請?jiān)趫D2中畫出△PCD并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（ ）

A．5
B．
C．
D．

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