Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過(guò)（2，1）和（6，-5）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是在直線x=4右側(cè)的此拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M．若以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)E是直線BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)的一點(diǎn)，若要使以點(diǎn)O、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�過(guò)（2，1）和（6，-5）兩點(diǎn)，所以把以上兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a和b的值即可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．解這個(gè)方程，得x₁=1，x₂=4．所以A（1，0），B（4，0）．令x=0，得y=-2．所以可得到C（0，-2），P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）．再分別①當(dāng)

OC

MA

=

OB

MP

時(shí)，△OCB∽△MAP時(shí)和②當(dāng)

OC

MP

=

OB

MA

時(shí)，△OCB∽△MPA，討論求出符合題意的m值即可；
（3）點(diǎn)E是直線BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)的一點(diǎn)，若要使以點(diǎn)O、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)，分別從以O(shè)B，BE，EF為對(duì)角線去分析即可求得答案．

解答：解：（1）把（2，1）和（6，-5）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得

4a+2b-2=1 36a+6b-2=-5.

，
解這個(gè)方程組，得 

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
故拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；

（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．
解這個(gè)方程，得x₁=1，x₂=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=-2．
∴C（0，-2）．   
設(shè)P（m，  -

1

2

m2+

5

2

m-2）．
因?yàn)椤螩OB=∠AMP=90°，
①當(dāng)

OC

MA

=

OB

MP

時(shí)，△OCB∽△MAP．
∴

2

m-1

=

4

1 2 m2- 5 2 m+2

．
解這個(gè)方程，得m₁=8，m₂=1（舍）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-14）．
②當(dāng)

OC

MP

=

OB

MA

時(shí)，△OCB∽△MPA．
∴

2

1 2 m2- 5 2 m+2

=

4

m-1

．
解這個(gè)方程，得m₁=5，m₂=1（舍）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-14）或（5，-2）；

（3）點(diǎn)E是直線BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)的一點(diǎn)，若要使以點(diǎn)O、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則以O(shè)B，BE，EF為對(duì)角線作出來(lái)圖形，可得到4個(gè)菱形；得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為(

8

5

5

，  

4

5

5

)或(-

8

5

5

， - 

4

5

5

)或(

8

5

， - 

16

5

)或（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查了二次函數(shù)的圖象和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)．題目綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．