Question

已知如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形，AN交CM于點E，BM交CN于點F，求證：
（1）CE=CF；（2）EF∥AB．

Answer 1

證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△CAN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴∠CMB=∠CAN
又∵∠ACM=∠MCN=60°，AC=NC
∴△ACE≌△MCF
∴CE=CF．

（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，

∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF為等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形．
∴∠CEF=∠MCA=60°
∴EF∥AB
分析：（1）由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△CAN≌△MCB，結(jié)論得證；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠MCB，進(jìn)而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．從而利用等邊三角形的性質(zhì)判定平行．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用．