Question

如圖所示，直線AB交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C、E在直線AB上，過(guò)點(diǎn)C作直線AB的垂線交y軸于點(diǎn)D，且OD=CD=CE．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），a、b（a＞b）是方程x²-12x+32=0的解．
（1）求DC的長(zhǎng)；
（2）求直線AB的解析式；
（3）在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)Q，使△OCB和△OCQ相似？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先解方程x²-12x+32=0得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用勾股定理求出DC的長(zhǎng)度即可；
（2）根據(jù)過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OA交射線FC于點(diǎn)N，交射線AO與H，則NH=4，易證△DFC≌△CNE，得CN=DF=6，EN=FC=8，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線AB的解析式；
（3）根據(jù)相似三角形的判定得出使△OCB和△OCQ相似，Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）解方程x²-12x+32=0得：
x₁=8，x₂=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（8，4），
過(guò)C作CF⊥y軸于F，
在Rt△DFC中，設(shè)DO=CO=y，則DF=y-4，CF=8，由勾股定理得：
（y-4）²+8²=y²，
解得：y=10，
即DC=10；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OA交射線FC于點(diǎn)N，交射線AO與H，則NH=4，
易證△DFC≌△CNE，得CN=DF=6，EN=FC=8，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)是（14，12），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把C（8，4），E（14，12）代入得：

12=14k+b 4=8k+b

，
解得：

k= 4 3 b=- 20 3

，
∴y_AB=

4

3

x-

20

3

；

（3）存在，
Q₁（

40

3

，0），Q₂（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出相似三角形是解題關(guān)鍵．