Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，求∠ACB的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）把點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解，把解析式整理成頂點(diǎn)式即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出∠OBC=45°，BC=3

2

，再過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，利用tan∠ACB=

AH

CH

求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），
∴

32+3b+c=0 c=3

，
解得

b=-4   c=3

，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3，
又∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是：D（2，-1）；

（2）∵拋物線y=x²-4x+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B點(diǎn)的左側(cè)），
∴A（1，0），
又∵O（0，0），C（0，3），B（3，0），
∴BO=CO=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=45°，BC=3

2

，
過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=2，
∴AH=BH=

2

，
∴CH=BC-BH=2

2

，
∴tan∠ACB=

AH

CH

=

2

2 2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，解答（1）中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，也可以利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．