Question

13．有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．現(xiàn)要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．
（1）如果此矩形可分割成兩個(gè)并排放置的正方形，如圖1，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條鄰邊長分別為多少mm？請(qǐng)你計(jì)算．
（2）如果題中所要加工的零件只是矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條鄰邊長就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條鄰邊長．

Answer 1

分析 （1）由于矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，則可設(shè)PQ=ymm，則PN=2ymm，易證△APN∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答

解答 解：（1）設(shè)矩形的邊長PN=2ymm，則PQ=ymm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$，
解得y=$\frac{240}{7}$，
∴PN=$\frac{240}{7}$×2=$\frac{480}{7}$（mm），
答：這個(gè)矩形零件的兩條邊長分別為$\frac{240}{7}$mm，$\frac{480}{7}$mm；
（2）設(shè)PN=xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}=\frac{80-PQ}{80}$，
解得PQ=80-$\frac{2}{3}$x．
∴S=PN•PQ=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
∴S的最大值為2400mm²，此時(shí)PN=60mm，PQ=80-$\frac{2}{3}$×60=40（mm）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．