Question

25、如圖，一個圓形街心花園，有三個出口A、B、C，每兩個出口之間有一條長60米的道路，組成正三角形ABC，在中心O處有一個亭子．為使亭子與原有的道路相通，需修三條小路OD、OE、OF，使另一出口D、E、F分別落在三角形的三邊上，且這三條小道把三角形分成三個全等的多邊形，以備種植不同的花草，
（1）請你按以上要求設計兩種不同的方案．將你的設計方案分別畫在圖（a）、圖（b）上，并附簡單的說明；
（2）要使三條小道把三角形分成三個全等的等腰梯形，應怎樣設計？把方案畫在圖（c）上，并簡單說明畫法（不需證明）；
（3）請你探究出一種一般方法，使得D不論在什么位置，都能準確找到另外兩個出口E、F的位置，請寫明這個畫法．用圖（d）表示出來．
（4）你在上圖中探索出的一般方法是否適用于正方形？請結(jié)合圖（e）予以說明；這種方法可以推廣到正n邊形嗎？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可以得出作三角形的內(nèi)心或外心都可以，即可得出作法；
（2）過點O分別作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，則點D，E，F(xiàn)為所求；
（3）在AB上任取一點D（不與點A點B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；
（4）只要使AE=BF=CG=DH即可．

解答：解：（1）過點O作三邊的高，垂足分別為D，E，F(xiàn)；

（2）過點O分別作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，則點D，E，F(xiàn)為所求；

（3）在AB上任取一點D（不與點A點B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；

（4）仍適用于正方形．只要使AE=BF=CG=DH即可；這種方法可以推廣到正n邊形也成立．

點評：此題主要考查了正三角形內(nèi)外心的作法以及等腰梯形作法和利用圖形設計解決實際問題等知識，注意題目的擴展結(jié)合已知可以延伸得出．