Question

如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段�。�點E是邊AD上的任意一點(點E與點A、D不重合)，過E作弧AC所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點： (1) 當∠DEF＝45o時，求證：點G為線段EF的中點； (2) 設AE＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； (3) 將△DEF沿直線EF翻折后得△DEF，如圖，當EF＝時，討論△ADD與△EDF是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：∵∠DEF＝45°，得∠DFE＝90°－∠DEF＝45°，∴∠DFE＝∠DEF,∴DE＝DF，又∵AD＝DC，∴AE＝FC．因為AB是圓B的半徑，AD⊥AB，所以AD切圓B于點A；同理，CD切圓B于點C，又因為EF切圓B于點G，所以AE＝EG,FC＝FG，因此EG＝FG，即點G為線段EF的中點．
(2)	解：∵EG＝AE＝x，F(xiàn)G＝CF＝y(tǒng)，∴ED＝1－x，F(xiàn)D＝1－y，在Rt△DEF中，由ED2＋FD2＝EF2，得(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2，∴y＝(0＜x＜1)．
(3)	解：當EF＝時，由(2)得EF＝EG＋FG＝AE＋FC＝x＋＝．得x1＝或x2＝，即AE＝或AE＝．①當AE＝時，△AD1D∽△ED1F，明如下：設直線EF交線段DD1于點H，如圖，據(jù)題意，△EDF≌△ED1F；EF⊥DD1且DH＝D1H．∵AE＝，AD＝1，得AE＝AD，∴EH∥AD1，∴∠D1AD＝∠FED＝∠FED1，∠ADD1＝∠EHD＝90°．又∵∠ED1F＝∠EDF＝90°，∴∠ED1F＝∠AD1D,∴△AD1D∽△ED1F，②當AE＝時，△AD1D與△ED1F不相似．