Question

（2013•沈陽一模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數是

120°

．

Answer 1

分析：根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

解答：解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故答案為：120°．

點評：此題主要考查了平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出M，N的位置是解題關鍵．