Question

4．嘉淇想證明三角形內角和是180°和其他一些的命題．請完成下列一些命題和證明．
（1）怎樣證明三角形內角和是180°呢？
（2）已知命題：等腰三角形底邊上的中線和頂角的角平分線重合，證明這個命題，并寫出它的逆命題，逆命題成立嗎？
命題：底邊上的中線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形
證明：證明：在△ABD和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD
由此我們不難發(fā)現(xiàn)：此命題是互逆命題
那么怎樣證明呢？請寫出證明過程．（可以畫出作圖痕跡．）

Answer 1

分析 （1）先寫出已知、證明，過點C作CD∥AB，點E為BC的延長線上一點，利用平行線的性質得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后根據(jù)平角的定義進行證明；
（2）根據(jù)證明的步驟，先寫出已知、求證，再寫出證明過程，最后寫出逆命題即可．

解答 解：（1）已知：△ABC，如圖1，
求證：∠A+∠B+∠C=180°，
證明：過點C作CD∥AB，點E為BC的延長線上一點，如圖，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠B，
∵∠C+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．

（2）如圖2，已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，
求證：∠BAD=∠CAD．
證明：在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
它的逆命題是：底邊上的中線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形，成立．

點評 本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．本題的關鍵時把三角形三個角的和轉化為一個平角，同時注意文字題證明的步驟書寫．