Question

概念：點(diǎn)P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段a與線段b的

“理想距離”．已知O（0，0），A（，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．

（1）       根據(jù)上述概念，根據(jù)上述概念，完成下面的問(wèn)題（直接寫答案）

①     當(dāng)m=，n=1時(shí)，如圖13-1，線段BC與線段OA的理想距離是         2

；

②     當(dāng)m=，n=2時(shí)，如圖13-2，線段BC與線段OA的理想距離為             ；

③     當(dāng)m=，若線段BC與線段OA的理想距離為,則n的取值范圍是                  .

（2）如圖13-3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為1的圓上，

當(dāng)n≥1時(shí)，線段BC與線段OA的理想距離記為d，則d的最小值為                 (說(shuō)明理由)

（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為1，線段BC的中點(diǎn)為G，
求點(diǎn)G隨線段BC運(yùn)動(dòng)所走過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少？

                               

                               

  

圖13-3

圖13-2

圖13-1

                             

備用圖

Answer 1

解：（1）① 

②2       

③  

（2）d的最小值為 

理由如下：若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為1的圓上，

M、N在圓上，到x軸距離為1如圖25-1所示

當(dāng)n1時(shí)，當(dāng)BA⊥OA，點(diǎn)B在弧BN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，d=1；

當(dāng)點(diǎn)B在弧BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，d<1，由圖可知

當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M 時(shí)d值最小，

∵A（，1）∴∠1=30°

由于MN∥x軸，∠MAO=∠1=30°∴d= 

(3)依題意畫出圖形，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖25-2中

兩圓外側(cè)封閉圖形所示：
由圖25-2可見(jiàn)，封閉圖形由4段長(zhǎng)度為2的線段，

以及可以拼成一個(gè)半徑為1的圓所組成，
其周長(zhǎng)為：2×4+2×π×1=8+2π，
∴點(diǎn)G隨線段BC運(yùn)動(dòng)所走過(guò)的路徑長(zhǎng)是：8+2π．