Question

16．如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．
（1）如圖1，當(dāng)∠AOB時直角，∠BOC=60°時，∠NOC=30°，∠MOC=75°，∠MON=45°．
（2）如圖2，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=60°時，猜想：∠MON與α的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=β（β為銳角）時，猜想：∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，請寫出結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角的平分線的定義即可直接求得∠NOC的度數(shù)，首先根據(jù)∠AOC=∠AOB+∠BOC以及角的平分線定義求得∠MOC的度數(shù)，最后根據(jù)∠MON=∠MOC-∠NOC求得；
（2）把（1）中的∠AOB=90°改成α，思路與（1）相同；
（3）解法與（2）完全相同，把∠BOC=60°改成∠BOC=β相同．

解答 解：（1）∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，OM是∠AOC的平分線，
∴∠AOM=∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=75°-30°=45°．
故答案是：30°，75°，45°；
（2）∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+60°，OM是∠AOC的平分線，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（a+60°）=$\frac{1}{2}$α+30°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$α+30°-30°=$\frac{1}{2}$a；
（3）∠MON=$\frac{1}{2}$a，理由是：
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
又∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，OM是∠AOC的平分線，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（a+β），
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$a．

點評 本題考查了角度的計算，理解角的平分線的定義以及角度的和、差之間的關(guān)系，注意每個小題之間的聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵．