Question

如圖所示，已知兩點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），以AB為直徑的半圓P交y軸于點(diǎn)C．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)弦AC的垂直平分線(xiàn)交OC于D，連接AD并延長(zhǎng)交半圓P于點(diǎn)E，與相等嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)M為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，OM=AE，是否存在過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)，使該直線(xiàn)與（1）中所得的拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等？若存在，求出這條直線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式；若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）連接BC
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90度．
∴OC²=OA•OB
∵A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴OC²=4
∴OC=2
∴C的坐標(biāo)是（0，2）
設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+1）（x-4）
把x=0時(shí)，y=2代入上式得
a=-，
∴y=-x²+x+2．

（2）=
證明：∵∠ACB=90度．
∴∠CAB+∠ABC=90度．
∵∠CAB+∠ACO=90度．
∴∠ABC=∠ACO．
∵PD是AC的垂直平分線(xiàn)，
∴DA=DC，
∴∠EAC=∠ACO．
∴∠EAC=∠ABC，
∴=．

（3）不存在．
連接PC交AE于點(diǎn)F
∵=
∴PC⊥AE，AF=EF
∵∠EAC=∠ACO，∠AFC=∠AOC=90°，
AC=CA，
∴△ACO≌△CAF
∴AF=CO=2
∴AE=4
∵OM=AE，
∴OM=2．
∴M（-2，0）
假設(shè)存在，設(shè)經(jīng)過(guò)M（-2，0）和y=-x²+x+2相交的直線(xiàn)是y=kx+b；
因?yàn)榻稽c(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，所以應(yīng)該是橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
設(shè)兩橫坐標(biāo)分別是a和-a，則兩個(gè)交點(diǎn)分別是（a，-a²+a+2）與（-a，-a²-a+2），
把以上三點(diǎn)代入y=kx+b，得，
解得a無(wú)解，所以不存在這樣的直線(xiàn)．
分析：（1）本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解．連接BC，即可根據(jù)射影定理求出OC的長(zhǎng)，也就得出了C點(diǎn)的坐標(biāo)，已知了A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)后即可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）求弧AC=弧CE，可通過(guò)弧對(duì)的圓周角相等來(lái)證，即證∠EAC=∠ABC，根據(jù)等角的余角相等不難得出∠ACO=∠ABC，因此只需證∠DCA=∠DAC即可．由于PD是AC的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，可得出DA=DC，即可證得∠DAC=∠DCA，由此可證出弧AC=弧CE．
（3）可先求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于OM=AE，因此要先求出AE的長(zhǎng)．如果連接PC，設(shè)PC與AE的交點(diǎn)為F，那么OF=OM=AE，OF的長(zhǎng)可通過(guò)證三角形CAO和AFC全等來(lái)得出，有了OM的長(zhǎng)就能得出M的坐標(biāo)．可先設(shè)出過(guò)M于拋物線(xiàn)相交的直線(xiàn)的解析式．然后根據(jù)兩交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可根據(jù)（1）的拋物線(xiàn)的解析式表示出著兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將兩交點(diǎn)和M的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式中，可得出一個(gè)方程組，如果方程組無(wú)解，那么不存在這樣的直線(xiàn)，如果有解，可根據(jù)方程組的解得出直線(xiàn)的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圓周角定理、垂徑定理、三角形全等等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．