Question

10．已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m  繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過(guò)B，M，C 分別作BD⊥m于點(diǎn)D，ME⊥m于點(diǎn)E，CF⊥m于點(diǎn)F．當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如圖1，可以得到$EM=\frac{1}{2}CF$．
（1）當(dāng)直線m不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖 2，圖 3 的位置時(shí)，線段BD，ME，CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
圖2，猜想：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$；
圖3，猜想：$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$．
（2）選擇第（1）問(wèn)中任意一種猜想加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以寫(xiě)出圖2和圖3的猜想，從而本題得以解決；
（2）對(duì)于圖2和圖3的猜想可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用圖1的結(jié)論可以推導(dǎo)出圖2和3猜想，并寫(xiě)出證明過(guò)程．

解答 解：（1）圖2的猜想為：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$，
圖3的猜想為；$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$，
故答案為：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$，$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$；
（2）圖2的猜想證明如下，
連接DM并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠DBM=∠KCM，
又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，

∴BM=CM，
在△DBM和△KCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠KCM}\\{BM=CM}\\{∠BMD=∠CMK}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CK，DM=MK，
由（1）知：$EM=\frac{1}{2}FK$，
∴$ME=\frac{1}{2}（CF+CK）=\frac{1}{2}（CF+DB）$．
圖3的猜想證明如下，
連接DM并延長(zhǎng)交FC于點(diǎn)K，

∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠MBD=∠KCM，
又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
在△DBM和△KCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBD=∠KCM}\\{M=CM}\\{∠BMD=∠CMK}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由（1）知：$ME=\frac{1}{2}FK$
∴$ME=\frac{1}{2}（CF-CK）=\frac{1}{2}（CF-DB）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想、找出所求問(wèn)題需要的條件．