Question

已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．
（1）若正方形的邊長為a，求BM•DN的值．
（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理,相似三角形的判定與性質

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后根據(jù)正方形的每一個角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和∠BAM+∠AMB=45°，從而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM和△NDA相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可；
（2）過點A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“邊角邊”證明△AFM和△ANM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FM=NM，再求出△FBM是直角三角形，然后利用勾股定理判斷即可．

解答：解：（1）∵BM、DN分別平分正方形的兩個外角，
∴∠CBM=∠CDN=45°，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠NAD=45°，
在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，
∴∠NAD=∠AMB，
在△ABM和△NDA中，

∠ABM=∠ADN ∠NAD=∠AMB

，
∴△ABM∽△NDA，
∴

AB

DN

=

BM

AD

，
∴BM•DN=AB•AD=a²；

（2）以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．
證明如下：如圖，過點A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，
∵∠1+∠BAN=90°，
∠3+∠BAN=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABF和△ADN中，

AB=AD ∠1=∠3 AF=AN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，
∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，
∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，
在△AFM和△ANM中，

AF=AN ∠FAM=∠MAN AM=AM

，
∴△AFM≌△ANM（SAS），
∴FM=NM，
∴∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°，
∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°，
∴△FBM是直角三角形，
∵FB=DN，F(xiàn)M=MN，
∴以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理逆定理，相似三角形的判定與性質，難點在于（2）作輔助線構造出全等三角形和直角三角形．