Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（﹣5，0），C（0，﹣5）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）把拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，求n的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣5；（2）0＜n＜3；（3）PC=7或17．

【解析】

（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+5），將點(diǎn)C（0，﹣5）的坐標(biāo)代入拋物線解析式中，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）先求得平移后新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)求得n的取值范圍；

（3）分點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上和點(diǎn)P在y軸正半軸上兩種情況進(jìn)行討論，求出兩種情況下CP的長(zhǎng)度。

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（﹣5，0），

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+5），

∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，﹣5），∴a×（﹣3）×5=﹣5，

∴a=，

∴拋物線解析式為y=（x﹣3）（x+5）=x2+x﹣5，

（2）記原拋物線的頂點(diǎn)為M'，

由（1）知，拋物線解析式為y=（x﹣3）（x+5）=（x2+2x﹣15）=（x+1）2﹣，

∴M'（﹣1，﹣），

由平移知，M（﹣1﹣n，﹣1），

∵B（﹣5，0），C（0，﹣5），

∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣5，

當(dāng)y=﹣1時(shí)，﹣x﹣5=﹣1，

∴x=﹣4，

∴﹣4＜﹣1﹣n＜﹣1，

∴0＜n＜3；

（3）存在，

理由：①當(dāng)P在y軸正半軸上時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得，∠OPA+∠OCA=∠PAD，

又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

∵AO=3，CO=5，

∴AC=，

設(shè)AD=PD=m，則CD=AC+AD=m+，

又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，

∴△COA～△CDP，

∴==，

∴==

∴m=，

∴PC=×=17，

②當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，記作P'，

由①知，OP=PC﹣CO=17﹣5=12，取OP'=OP=12，如圖，

則由對(duì)稱知：∠OP'A=∠OPA， P'O=PO=12，

∴∠OP'A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，

同理P'也滿足題目條件，∴P'C=OP'﹣OC=12﹣5=7，

綜合以上得：PC=7或17．