Question

19．如圖，在直角坐標系中，B點的坐標為（a，b），且a，b滿足b=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}+\sqrt{4-{a}^{2}}+8}{a+2}$
（1）求B點的坐標；
（2）點A為y軸上一動點，過B點作BC⊥AB交x軸正半軸于點C，求證：
BA=BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到關于a，b的方程，求得a，b，即可得到結(jié)論；
（2）作BM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N點，很容易知道△ABM≌△CBN．而B點坐標是（2，2），那么就有一組對應邊相等，故全等，可得BA=BC．

解答 解：（1）∵b=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}+\sqrt{4-{a}^{2}}+8}{a+2}$，
∴a²-4≥0，4-a²≥0，解得：a=±2，∵a+2≠0，
∴a=2，
∴b=2，
∴B（2，2）；

（2）作BM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N點，如圖：
∴∠MBN=90°．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABM=∠CBN．
∵B點坐標是（2，2），
∴BM=BN，
在△ABM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠BNC}\\{BM=BN}\\{∠ABM=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BA=BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，本題中求證△ABE≌△CBD是解題的關鍵．