Question

我們把對稱中心重合，四邊分別平行的兩個(gè)正方形之間的部分叫“方形環(huán)”，易知方形環(huán)四周的寬度相等．
一條直線l與方形環(huán)的邊線有四個(gè)交點(diǎn)M、M′、N′、N．小明在探究線段MM′與N′N 的數(shù)量關(guān)系時(shí)，從點(diǎn)M′、N′向?qū)�邊作垂線段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)解決了問題．請你參考小明的思路解答下列問題：
（1）當(dāng)直線l與方形環(huán)的對邊相交時(shí)，如圖1，直線l分別交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明發(fā)現(xiàn)MM′與N′N相等，請你幫他說明理由；
（2）當(dāng)直線l與方形環(huán)的鄰邊相交時(shí)，如圖2，l分別交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l與DC的夾角為α，你認(rèn)為MM′與N′N還相等嗎？若相等，說明理由；若不相等，求出

MM′

N′N

的值（用含α的三角函數(shù)表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）證線段相等，可證線段所在的三角形全等．結(jié)合本題，證△MM′E≌△NN′F即可；
（2）由于M′E∥CD，則∠EM′M=∠FNN′=α，易證得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，則比例式可化為：

MM′

NN′

=

FN′

FN

=tanα，
由此可知：當(dāng)α=45°時(shí)，MM′=NN′；當(dāng)α≠45°時(shí)，MM′≠NN′．

解答：解�。�1）在方形環(huán)中，∵M(jìn)′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，
在△MM′E與△NN′F中，

∠EMM′=∠FNN′ ∠M′EM=∠N′FN=90° M′E=N′F

，
∴△MM′E≌△NN′F（AAS）．
∴MM′=N′N；

（2）法一∵∠NFN′=∠MEM′=90°，∠FNN′=∠EM′M=α，
∴△NFN′∽△M′EM，
∴

MM′

N′N

=

M′E

NF

．
∵M(jìn)′E=N′F，
∴

MM′

N′N

=

N′F

NF

=tanα（或

sinα

cosα

）．
①當(dāng)α=45°時(shí)，tan α=1，則MM′=NN′；
②當(dāng)α≠45°時(shí)，MM′≠NN′，則

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．
法二　在方形環(huán)中，∠D=90°．
∵M(jìn)′E⊥AD，N′F⊥CD，
∴M′E∥DC，N′F=M′E．
∴∠MM′E=∠N′NF=α．
在Rt△NN′F與Rt△MM′E中，
sinα=

N′F

NN′

，cosα=

M′E

MM′

，即

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．
①當(dāng)α=45°時(shí)，MM′=NN′；
②當(dāng)α≠45°時(shí)，MM′≠NN′，則

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)．