Question

從1，2，3，…，1000中找n個數，使其中任兩個數的和是36的倍數，則n的最大值為（　　）

• A、25
• B、26
• C、27
• D、28

Answer 1

考點：約數與倍數

專題：探究型

分析：不妨設找出的任意三個數為a、b、c，根據條件可推出a、b、c都是18的倍數，進而可得到找出的n個數都是18的倍數．由于找出的任意兩個數的和是36的倍數，因此找出的n個數都是18的奇數倍或都是18的偶數倍．然后分別討論就可解決問題．

解答：解：不妨設找出的任意三個數為a、b、c，
由題可得：a+b=36n₁①，a+c=36n₂②，b+c=36n₃③，其中n₁、n₂、n₃是正整數．
由①+②-③得：2a=36（n₁+n₂-n₃），即a=18（n₁+n₂-n₃）．
則a是18的倍數．
同理可得：b、c都是18的倍數．
由于a、b、c表示任意的三個數，因此找出的n個數都是18的倍數．
由于找出的任意兩個數的和是36的倍數，因此找出的n個數都是18的奇數倍或都是18的偶數倍．
①若找出的n個數都是18的奇數倍，則找出的最大的數可表示為18（2n-1）．
解18（2n-1）≤1000得：n≤

509

18

．
所以n取到最大值，為28．
②若找出的n個數都是18的偶數倍，則找出的最大的數可表示為18×2n即36n．
解36n≤1000得：n≤

250

9

．
所以n取到最大值，為27．
綜上所述：n的最大值為28．
故選：D．

點評：本題注重對推理能力的考查，而證到找出的n個數都是18的倍數是解決本題的關鍵．