Question

14．A（0，4）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，P是x軸上一動點(diǎn)，從原點(diǎn)O出發(fā)，沿正半軸運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）若AB∥x軸，求t的值；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)t=3時(shí)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M（3，a），請直接寫出使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長方形，再根據(jù)△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結(jié)論；
（2）先證出△PAO≌△BPC，即可得出各邊的關(guān)系，利用坐標(biāo)系中點(diǎn)的意義即可得出個(gè)線段的長度，由相等的量可得出結(jié)論；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)可知，若△APM為等腰三角形只需找到一組臨邊相等即可，臨邊相等分三種情況，分類討論結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，
∴四邊形ABCO為長方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB為等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
t=4÷1=4（秒），
故t的值為4．
（2）∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠APO+∠BPC=180°-90°=90°．
又∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠PAO=∠BPC．
在△PAO和△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAO=∠BPC}\\{∠AOP=∠PCB=90°}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△BPC，
∴AO=PC，BC=PO．
∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P（t，0），點(diǎn)B（x，y），
∴PC=AO=4，BC=PO=t=y，CO=PC+PO=4+y=x，
∴y=x-4．
（3）△APM為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)AM=AP時(shí)，如圖2所示．

當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)P（3，0），
∵點(diǎn)M（3，a），點(diǎn)A（0，4），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
AM=$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$，AP=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=5，
∴$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$=5，解得：a=0（舍去），a=8．
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）；
②當(dāng)MA=MP時(shí)，如圖3所示．

∵點(diǎn)P（3，0），點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)M（3，a），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
MA=$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$，MP=a，
∴$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$=a，解得：a=$\frac{25}{8}$．
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，$\frac{25}{8}$）；
③當(dāng)PA=PM時(shí)，如圖4所示．

∵點(diǎn)P（3，0），點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)M（3，a），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
PA=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=5，PM=|a|，
∴a=±5．
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5）或（3，-5）．
綜上可知：當(dāng)t=3時(shí)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M（3，a），使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，8），（3，$\frac{25}{8}$），（3，5）和（3，-5）．

點(diǎn)評 本題考查了長方形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△AOP為等腰直角三角形；（2）利用△PAO≌△BPC找出相等的邊；（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出兩線段的長度．本題屬于中檔題，難度不大，（1）（3）問容易解決，（2）需要用x、t、y去表示各邊長度，再由相等的邊找到x、y的關(guān)系，作此類型的題要結(jié)合圖形，尋找相等的量才能得出結(jié)論．