Question

12．若方程ax²-2x+1=0（a＞0）的兩根滿足：x₁＜1，1＜x₂＜3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先大致畫出二次函數(shù)y=ax²-2x+1的圖象，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x₁＜1，1＜x₂＜3，利用函數(shù)圖象得到，x=1時(shí)，y＜0，即a-2+1＜0，即得a＜1；當(dāng)x=3時(shí)，y＞0，即9a-6+1＞0，解得a＞$\frac{5}{9}$，于是可確定a的取值范圍．

解答 解：∵a＞0，b=-2，c=1，
∴拋物線y=ax²-2x+1大致位置如圖所示，
∵方程ax²-2x+1=0（a＞0）的兩根為x₁，x₂，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x₁＜1，1＜x₂＜3，
∵x=1時(shí)，y＜0，
∴a-2+1＜0，即得a＜1；
∵x=3時(shí)，y＞0，
∴9a-6+1＞0，解得a＞$\frac{5}{9}$，
∴a的取值范圍為$\frac{5}{9}$＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．