Question

14．若直角坐標(biāo)系內(nèi)矩形OABC位于第一象限，A（6，0），C（0，4），直線l過點(diǎn)D（0，6）．
（1）若直線l將矩形OABC面積平分，求l解析式；
（2）若直線l將矩形OABC面積平分成2：1的兩部分，求l解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知經(jīng)過對角線的交點(diǎn)的直線DK平分四邊形OABC的面積，故經(jīng)過交點(diǎn)和D點(diǎn)的直線的解析式即為l的解析式；
（2）分兩種情況分別討論，即可求得．

解答 解：（1）如圖，設(shè)矩形的對角線的交點(diǎn)為K，則直線DK平分四邊形OABC的面積，
∵A（6，0），C（0，4），
∴K（3，2），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)D（0，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+6；
（2）①連接AD，
∵OD∥AB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CM}{BM}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{6-BM}{BM}$，
∴BM=4，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∵S_矩形=4×6=24，
∴S_△ABM=$\frac{1}{3}$S_矩形，
∴直線AD滿足條件，
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+6，
代入（6，0）得，0=6m+6，解得m=-1，
∴直線AD為y=-x+6；
②設(shè)直線DE把四邊形OABC的面積分成1：2兩部分，則梯形OEFC的面積=$\frac{1}{3}$×24=8，
設(shè)CF=x，由$\frac{CF}{OE}=\frac{DC}{DO}$，得到OE=3x，
∴$\frac{1}{2}$（x+3x）×4=8，
解得x=1，
∴F（1，4），
設(shè)直線DF的解析式為y=nx+6，
代入F點(diǎn)的坐標(biāo)得，4=n+6，解得n=-2，
∴直線DF為y=-2x+6；
故直線l解析式為y=-x+6或y=-2x+6．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平行線分相等成比例定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．