Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）請用直尺和圓規(guī)在邊AC上作一點P，且使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）當(dāng)∠B=60度時，PA：PC=2：1．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分線交AC于點P，則PA=PB；
（2）利用PA=PB，PA：PC=2：1得到PB：PC=2：1，則在Rt△BCP中利用余弦的定義可計算出∠BPC=60°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出∠A=30°，然后•利用互余計算∠ABC的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖，點P為所作；

（2）∵PA=PB，PA：PC=2：1，
∴PB：PC=2：1，
在Rt△BCP中，∵cos∠BPC=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BPC=60°，
∵PA=PB，
∴∠A=∠PBA，
∵∠BPC=∠A+∠PBA，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
故答案為60．

點評 本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)確定∠BPC的度數(shù)．