Question

小敏的叔叔家有一塊等腰三角形形狀的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米（水渠的寬不計）．則這塊等腰三角形菜地的面積為

 

平方米．

Answer 1

分析：本題要分等腰三角形的頂角是銳角或鈍角兩種情況討論解答．
當(dāng)頂角為銳角時，利用勾股定理求出AE，添加輔助線可求出△ABC的面積．
當(dāng)頂角為鈍角時，作等腰三角形邊上的高，利用比例求出AF即可求解．

解答：解：根據(jù)題意，有兩種情況
（1）當(dāng)?shù)妊�三角形為銳角三角形時（如圖1所示）
∵D為AB中點
∴AD=DB，
∵AD=DB=20，DE=15，
∴AE=

202+152

=25
過C點作CF⊥AB于F
∴DE∥CF，
∴

DE

CF

=

AE

AC

∴CF=

15×40

25

=24
∴S_△ABC=

1

2

AB•CF=

1

2

×40×24=480（m²）

（2）當(dāng)?shù)妊�三角形為鈍角三角形時（如圖2所示）
過A點作AF⊥BC于F，
∵AD=BD=20，DE=15，
∴BE=25，
∵△BDE∽△BFA，
∴

BD

BF

=

BE

AB

=

DE

AF

，
∴BF=

20×40

25

=32，
∴BC=2×32=64，AF=24，
∴S_△ABC=

1

2

×64×24=768（m²）．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出等腰三角形的高，并且要分兩種情況討論解答．難度中等，要學(xué)會實際問題數(shù)學(xué)化，通過數(shù)學(xué)知識解決實際問題，是一種很重要的方法，要熟練掌握．