Question

在△ABC，∠BAC為銳角，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點D．
（1）如圖1，若△ABC是等腰直角三角形，直接寫出線段AC，CD，AB之間的數(shù)量關系；
（2）BC的垂直平分線交AD延長線于點E，交BC于點F．
①如圖2，若∠ABE=60°，判斷AC，CE，AB之間有怎樣的數(shù)量關系并加以證明；
②如圖3，若AC+AB=

3

AE，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質,等腰直角三角形,解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）AB=AC+CD，理由為：過D作DE垂直于AB，利用角平分線定理得到DC=DE，進而利用HL得到三角形ACD與三角形AED全等，利用全等三角形對應邊相等得到AC=AE，再由三角形ABC為等腰直角三角形得到三角形BDE為等腰直角三角形，即DE=EB，由AB=AE+EB，等量代換即可得證；
（2）①AB=AC+CE，理由為：在線段AB上截取AH=AC，連接EH，由AD為角平分線得到一對角相等，再由AC=AH，AE=AE，利用SAS得到三角形ACE與三角形AHE全等，得到CE=HE，由EF垂直平分BC，得到CE=BE，根據(jù)∠ABE=60°，得到△EHB是等邊三角形，進而得到BH=HE，由AB=AH+HB，等量代換即可得證；
②在線段AB上截取AH=AC，連接EH，作EM⊥AB于點M．同理可得△ACE≌△AHE，得到CE=HE，進而確定出△EHB是等腰三角形，得到HM=BM，根據(jù)AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，將已知等式AC+AB=

3

AE，代入得：AM=

3

2

AE，在Rt△AEM中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠EAM的值，進而確定出∠EAB=30°，即可得到∠CAB的度數(shù)．

解答：解：（1）AB=AC+CD，理由為：
過D作DE⊥AB，如圖1所示，

∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

DC=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，即△BDE為等腰直角三角形，
∴CD=DE=EB，
則AB=AE+EB=AC+CD；    
（2）①AB=AC+CE；  
證明：在線段AB上截取AH=AC，連接EH，如圖2所示，

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
在△ACE和△AHE中，

AC=AH ∠CAE=∠BAE AE=AE

，
∴△ACE≌△AHE（SAS），
∴CE=HE，
∵EF垂直平分BC，
∴CE=BE，
又∠ABE=60°，
∴△EHB是等邊三角形，
∴BH=HE，
∴AB=AH+HB=AC+CE；
②在線段AB上截取AH=AC，連接EH，作EM⊥AB于點M．如圖3所示，

同理可得△ACE≌△AHE，
∴CE=HE，
∴△EHB是等腰三角形，
∴HM=BM，
∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，
∵AC+AB=

3

AE，
∴AM=

3

2

AE，
在Rt△AEM中，cos∠EAM=

AM

AE

=

3

2

，
∴∠EAB=30°．
∴∠CAB=2∠EAB=60°．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線定理，等腰直角三角形，以及解直角三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．