Question

已知關于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整數(shù)根，且關于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0（2）有兩個實數(shù)根y₁和y₂
（1）當k為整數(shù)時，確定k的值；
（2）在（1）的條件下，若m＞-2，用關于m的代數(shù)式表示y₁²+y₂²．

Answer 1

解：（1）當k=0時，方程（1）化為-x-1=0，x=-1，方程有整數(shù)根
當k≠0時，方程（1）可化為（x+1）（kx+k-1）=0
解得x₁=-1，x₂==-1+；
∵方程（1）的根是整數(shù)，所以k為整數(shù)的倒數(shù)．
∵k是整數(shù)
∴k=±1
此時△=（2k-1）²-4k（k-1）=1＞0
但當k=1時，（k-1）y²-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0，k=-1；

（2）當k=0時，方程（2）化為-y²-3y+m=0
∵方程（2）有兩個實數(shù)根
∴△=9+4m≥0，即m≥-，又m＞-2
∴當m＞-2時，y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=9+2m；
當k=-1時，方程（2）化為-2y²-3y+m=0，方程有兩個實數(shù)根
∴△=9+8m≥0，即m≥-
∵m＞-2，
∴當-2＜m＜-時，方程（2）無實數(shù)根
當m≥-時，有y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=+m．
分析：（1）要分兩種情況討論：
①k=0時，（1）方程為一元一次方程，可計算出此時方程的根是否為整數(shù)，若是，則k=0符合要求；
②k≠0時，（1）方程為一元二次方程，用因式分解法求出該方程的兩個根，再根據(jù)這個方程只有整數(shù)根的特點，求出k的整數(shù)值，再根據(jù)的判別式將不合題意的k值舍去．
（2）將（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根據(jù)根的判別式判斷出m的范圍，然后用根與系數(shù)的關系表示出所求的代數(shù)式的值．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式；需注意的是（1）題不要忽略了（1）方程為一元一次方程的情況．