Question

如圖，矩形ABCD中，∠DOC=60°，AB=1，AE平分∠BAD交BC于E，連接OE，下列說法錯(cuò)誤的是

1. A.
   ∠EAC=15°
2. B.
   ∠BOE=75°
3. C.
   OE=EC
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由四邊形ABCD是矩形得到OA=OB，又因?yàn)椤螪OC=60°，得到等邊三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊得到OB=BE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求出CE的長．
解答：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE=1，
∵∠EAC=∠BAO-∠BAE=60°-45°，
∴∠CAE=15°，（故答案A正確）
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等邊三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=（180°-30°）=75°，（故答案B正確），
假設(shè)OE=CE，則∠OEC=180°-2∠OCE=180°-60°=120°，
由四邊形的內(nèi)角和可知∠EOD=90°，
∴OE⊥BD，
∵AE是角平分線，
∴BE=OE，
則E必是中點(diǎn)，但條件沒有，（故答案C錯(cuò)誤），
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴AC=2AC=2，
∴BC==，
∵AB=BE=1，
∴CE=-1，（故答案D正確）
故選C．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出∠OBC的度數(shù)和求OB=BE．