Question

如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我們把菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)作菱形的中心．菱形ABCD在直線l上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過(guò)1次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為    ；經(jīng)過(guò)18次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為    ；經(jīng)過(guò)3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為    ．（結(jié)果都保留π）

Answer 1

【答案】分析：從圖中可以看出，第一次旋轉(zhuǎn)是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，解直角三角形可求出OA的長(zhǎng)，圓心角是60度．第二次還是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，圓心角是60度．第三次就是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，OB為半徑，旋轉(zhuǎn)的圓心角為60度．旋轉(zhuǎn)到此菱形就又回到了原圖．故這樣旋轉(zhuǎn)18次，就是這樣的6個(gè)弧長(zhǎng)的總長(zhǎng)，依此計(jì)算即可得，進(jìn)而得出經(jīng)過(guò)3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)．
解答：解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
BO=DO=1，
AO==，
第一次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)==π，
∵第一、二次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)和=+=π+π=π，
第三次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為：=
∵18÷3=6，
故中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)=6（π+）=（4+2）π，
故經(jīng)過(guò)3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為：n×（π+）=nπ．
故答案為：π，（4+2）π，nπ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出菱形每轉(zhuǎn)動(dòng)3次一循環(huán)進(jìn)而得出經(jīng)過(guò)路徑是解題的關(guān)鍵．