Question

19．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于O，F(xiàn)是DC延長線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A、FB與⊙O分別交于M、G，GO延長線與⊙O交于N．
（1）求證：AB平分∠MAN；
（2）如圖（2），若弦CD⊥OB于E，請(qǐng)判斷AB是否仍平分∠MAN，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若⊙O的半徑為5，F(xiàn)E=2CE=6，求線段AN的長．

Answer 1

分析 （1）若證AB平分∠MAN，可證∠FAB=∠NAB，根據(jù)題意FC垂直平分AB可得∠FAB=∠FBA，又∠GBA=∠GNA=∠NAB，可得∠FAB=∠NAB；
（2）仍然平分，需證∠FAB=∠NAB，而∠NAB=∠NGB，由圖可知∠NGB=∠BFE+∠FEG、∠FAB=∠BAG+∠FAG，顯然∠BAG=∠BFE，現(xiàn)在需證∠FAG=∠FEG，這可以由∠AGF=∠AEF=90°知A、E、G、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上可得；
（3）由（2）知AB平分∠MAN，求AN的長可轉(zhuǎn)化為求AM，顯然Rt△ABM∽R(shí)t△AFE可得AM=$\frac{AB•AE}{AF}$，RT△OCE中可求OE長，進(jìn)而在RT△AEF中可求出AF的長即可．

解答 解：（1）∵CD⊥OB，且OA=OB，
∴FA=FB，
∴∠FAB=∠FBA，
又∵$\widehat{AG}$所對(duì)得圓周角∠GBA=∠GNA，
∴∠FAB=∠GNA，
∵OA=ON，
∴∠GNA=∠NAB，
∴∠FAB=∠NAB，即AB平分∠MAN；
（2）如圖，連接AG，

則∠AGF=∠AEF=90°，
∴AF的中點(diǎn)到A、E、G、F四點(diǎn)的距離相等，即A、E、G、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
∴弦FG所對(duì)的圓周角∠FAG=∠FEG．
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，
∴∠BAG=∠BFE．
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．
（3）連接OC、BM，
∵OC=5，CE=3，
∴在Rt△OEC中得OE=4．
∴AE=9．
在Rt△AEF，EF=6，
∴AF=3$\sqrt{13}$．
∵AB=10，由Rt△ABM∽R(shí)t△AFE得$\frac{AM}{AE}=\frac{AB}{AF}$，
∴AM=$\frac{AB•AE}{AF}$=$\frac{30\sqrt{13}}{13}$．
∵AB平分∠MAN，
∴AN=AM=$\frac{30\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查有關(guān)圓的綜合知識(shí)，對(duì)圓中的相關(guān)定理的掌握及利用有關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行角度間的轉(zhuǎn)換比較關(guān)鍵．