Question

關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)．

Answer 1

考點：根的判別式,一元二次方程的定義

專題：

分析：（1）表示出根的判別式，得到根的判別式大于0，進而確定出方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）由（1）得到方程有兩個不相等的實數(shù)根，利用求根公式表示出方程的兩根：x₁=

m+1

m-1

，x₂=1，要使原方程的根是整數(shù)，必須使得x₁=

m+1

m-1

=1+

2

m-1

為正整數(shù)，則m-1=1或2，進而得出符合條件的m的值．

解答：解：（1）∵△=b²-4ac=（-2m）²-4（m-1）（m+1）=4＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）由求根公式，得x=

2m±2

2(m-1)

，
∴x₁=

2m+2

2(m-1)

=

m+1

m-1

，x₂=

2m-2

2(m-1)

=1；
∵m為整數(shù)，且方程的兩個根均為正整數(shù)，
∴x₁=

m+1

m-1

=1+

2

m-1

，必為正整數(shù)，
∴m-1=1或2，
∴m=2或m=3．

點評：此題考查了根的判別式，以及求根公式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數(shù)根．