Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，CD=2$\sqrt{3}$，BE=1．
求證：
（1）四邊形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由垂徑定理，可求得CE的長，又由勾股定理，可求得半徑OC的長，然后由勾股定理求得AD的長，即可得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形；
（2）首先連接OF，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線．

解答 證明：（1）連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
設OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x-1）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得：x=2，
∴OA=OC=2，OE=2，
∴AE=3，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切線，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四邊形FADC是平行四邊形，
∵AD=CD，
∴平行四邊形FADC是菱形；
（2）連接OF，AC，
∵四邊形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即∠OCF=∠OAF=90°，
即OC⊥FC，
∵點C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切線．

點評 此題考查了切線的判定與性質、菱形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．