Question

4．（1）如圖1，若CO⊥AB，垂足為O，OE、OF分別平分∠AOC與∠BOC．求∠EOF的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分別平分∠AOD與∠BOC．求∠EOF的度數(shù)；
（3）若∠AOC=∠BOD=α，將∠BOD繞點O旋轉(zhuǎn)，使得射線OC與射線OD的夾角為β，OE、OF分別平分∠AOD與∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，則∠EOC=$\frac{1}{2}α±\frac{1}{2}β$．（用含α與β的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠AOC=∠BOC=90°，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×（80+β）=40+$\frac{1}{2}$β，∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×（80+β）=40+$\frac{1}{2}$β，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
（3）如圖2由已知條件得到∠AOD=α+β，根據(jù)角平分線的定義得到∠DOE=$\frac{1}{2}$（α+β），即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；

（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×（80+β）=40+$\frac{1}{2}$β，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×（80+β）=40+$\frac{1}{2}$β，
∠COE=∠EOD-∠COD=40+$\frac{1}{2}$ β-β=40-$\frac{1}{2}$β；
∠EOF=∠COE+∠COF=40-$\frac{1}{2}$ β+40+$\frac{1}{2}$β=80°；

（3）如圖2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$（α+β），
∴∠COE=∠DOE-∠COD=$\frac{1}{2}（α+β）-β$=$\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$，
如圖3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$（α-β），
∴∠COE=∠DOE+∠COD=$\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β$．
綜上所述：$\frac{1}{2}α±\frac{1}{2}β$，
故答案為：$\frac{1}{2}α±\frac{1}{2}β$．

點評 本題考查了角平分線的定義，角的計算，解題的關鍵是找出題中的等量關系列方程求解．