Question

14．在△ABC中，AB=BC，平面內(nèi)取點(diǎn)D，連接AD，作AE⊥AD，且使得∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC=α．連接CD，取其中點(diǎn)M．
（1）如圖1，當(dāng)α=45°時(shí)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)△ADE使得點(diǎn)E落在AB上，探索BM、CE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，探索BM、CE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論（數(shù)量關(guān)系用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BM交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)已知條件得到ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，求得∠ABC=90°，推出DA∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADM=∠BCM，推出△DAM≌△CBM，于是得到DG=BC=AB，BM=GM，求出AG=BE，證得△ABG≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG=CE，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)已知條件得到MG=$\frac{1}{2}$AD，MG∥AD，由平行線的性質(zhì)得到∠MGC=∠DAC，求得tanα=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AG}{BG}$，求得$\frac{AE}{GM}=\frac{AC}{BG}$，推出∠EAC=∠BGM，證得△ACE∽△BMG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）BM=$\frac{1}{2}$CE；
延長(zhǎng)BM交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，
∵∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴DA∥BC，
∴∠ADM=∠BCM，
在△DAM與△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDM=∠BCM}\\{∠DMG=∠BMC}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DGM≌△CBM，
∴DG=BC=AB，BM=GM，
∵AD=AE，
∴AG=BE，
在△ABG與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BE}\\{∠GAB=∠EBC=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCE，
∴BG=CE，
∴BM=$\frac{1}{2}$CE；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，連接MG，
∵AB=BC，
∴$∠ABG=\frac{1}{2}∠ABC=∠ADE=α$，AG=CG，
∵DM=CM，
∴MG=$\frac{1}{2}$AD，MG∥AD，
∴∠MGC=∠DAC，
∵tanα=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AG}{BG}$，
∴$\frac{AE}{2GM}=\frac{\frac{1}{2}AC}{BG}$，
∴$\frac{AE}{GM}=\frac{AC}{BG}$，
∵∠DAC+∠CAE=∠BGM+∠MGC=90°，
∴∠EAC=∠BGM，
∴△ACE∽△BMG，
∴$\frac{BM}{CE}$=$\frac{AE}{MG}$=$\frac{AE}{\frac{1}{2}AD}$=1：2tanα．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．