Question

已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過(guò)B、M、C分別作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．

（1）當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，如圖1，易證EM=CF．（不需證明）

（2）當(dāng)直線m不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時(shí)，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明．

Answer 1

       解：（1）如圖1，

∵M(jìn)E⊥m于E，CF⊥m于F，

∴ME∥CF，

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，

∴E為BF中點(diǎn)，

∴ME是△BFC的中位線，

∴EM=CF．

（2）圖2的結(jié)論為：ME=（BD+CF），

圖3的結(jié)論為：ME=（CF﹣BD）．

圖2的結(jié)論證明如下：連接DM并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠DBM=∠KCM

在△DBM和△KCM中

，

∴△DBM≌△KCM（ASA），

∴DB=CK   DM=MK

由題意知：EM=FK，

∴ME= （CF+CK）= （CF+DB）   

圖3的結(jié)論證明如下：連接DM并延長(zhǎng)交FC于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠MBD=∠KCM

在△DBM和△KCM中

，

∴△DBM≌△KCM（ASA）

∴DB=CK，DM=MK，

由題意知：EM=FK，

∴ME=（CF﹣CK）=（CF﹣DB）．