Question

閱讀下面材料，并解答問題．
材料：將分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母為-x²+1，可設-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b，則-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）．
∵對應任意x，上述等式均成立．
∴

a-1=1 a+b=3

∴a=2，b=1．
∴

-x4-x2+3

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+2+

1

-x2+1

．
這樣，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一個整式x²+2與一個分式

1

-x2+1

的和．
解答：
（1）將分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
（2）當-1＜x＜1時，求

-x4-x2+3

-x2+1

的最小值．

Answer 1

考點：分式的混合運算

專題：閱讀型

分析：（1）利用材料中所給的知識求解即可；
（2）利用二次函數(shù)的最大與最小值求解即可．

解答：解：（1）由分母為-x²+1，可設-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b，則-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）．
∵對應任意x，上述等式均成立．
∴

a-1=1 a+b=3

，
∴a=2，b=1．
∴

-x4-x2+3

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+2+

1

-x2+1

；
這樣，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一個整式x²+2與一個分式

1

-x2+1

的和；

（2）當-1＜x＜1時，x=0時

-x4-x2+3

-x2+1

的最小值，
即x²+2+

1

-x2+1

=0+2+1=3．

點評：本題主要考查了分式的混合運算，解題的關鍵是理解材料中所給的知識．