Question

如圖，二次函數(shù)y=

1

2

（x-5）（ x+m） （m是常數(shù)，m＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（5，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AC．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

．（用含m的代數(shù)式表示）
（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式．
（3）垂直于x軸的直線l在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間平行移動(dòng)，且與拋物線和直線AC分別交于點(diǎn)M、N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，線段MN的長(zhǎng)為p．
①當(dāng)t=2時(shí)，求證：p為定值；
②若m≤1，則當(dāng)t為何值時(shí)，p取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）點(diǎn)B縱坐標(biāo)為0，點(diǎn)C橫坐標(biāo)為0，將其直接代入二次函數(shù)y=

1

2

（x-5）（x+m）即可求得坐標(biāo)．
（2）求直線方程一般采用待定系數(shù)法，設(shè)直線為y=kx+b，代入A、C坐標(biāo)即可．
（3）①求證p為定值，通常利用表達(dá)式表示p，此時(shí)p恰為不含字母的式子．因?yàn)閠=2，此時(shí)p=y_N-y_M，這里y_M為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，y_N為點(diǎn)N的縱坐標(biāo)②求最值也要首先表示p，不過(guò)發(fā)現(xiàn)因?yàn)镃為拋物線與直線的交點(diǎn)，在-m≤t≤0，p=y_M-y_N，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，p=y_N-y_M．如此要分開(kāi)討論最值，然后在綜合在一起，討論時(shí)不要遺漏題目中關(guān)于m的限制：0＜m≤1．

解答：解：（1）B（-m，0），C（0，-

5

2

m）． 

（2）設(shè)AC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，
∵A、C在直線上，
∴將A（5，0），C（0，-

5

2

m）的坐標(biāo)滿足方程，可得：

0=5k+b - 5m 2 =b

   
解得：

k= 1 2 m b=- 5m 2

，
∴y=

1

2

m（x-5）．

（3）①證明：∵t=2，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y_M=

1

2

 （2-5）（ 2+m）=-

3

2

 （ 2+m），
  點(diǎn)N的縱坐標(biāo)y_N=

1

2

m（2-5）=-

3

2

m．
∴p=y_N-y_M=-

3

2

m+

3

2

 （2+m）=3，即此時(shí)p為定值．
②解：∵設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，線段MN的長(zhǎng)為p，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y_M=

1

2

 （t-5）（t+m）=

1

2

t²+

1

2

（m-5）t-

5

2

m，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)y_N=

1

2

m（t-5）．
當(dāng)0≤t≤5時(shí)，p=y_N-y_M=-

1

2

t²+

5

2

t=-

1

2

（t-

5

2

）²+

25

8

．此時(shí)，當(dāng)t=

5

2

時(shí)，p取得最大值為

25

8

．
當(dāng)-m≤t≤0時(shí)，p=y_M-y_N=

1

2

t²-

5

2

t=

1

2

（t-

5

2

）²-

25

8

．此時(shí)，此二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線t=

5

2

，
∴在-m≤t≤0時(shí)，p隨t的增大而減�。�當(dāng)t=-m時(shí)，p取得最大值為

1

2

m²+

5

2

m．
對(duì)y=

1

2

m²+

5

2

m，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，此函數(shù)開(kāi)口向上，m=-

5 2

2• 1 2

=-

5

2

為對(duì)稱軸，
∴當(dāng)0＜m≤1，

1

2

m²+

5

2

m的值隨m值的增大而增大．
∴

1

2

m²+

5

2

m≤

1

2

×1²+

5

2

×1=3，
∴

1

2

m²+

5

2

m＜

25

8

．
∴在-m≤t≤5時(shí)，當(dāng)t=

5

2

時(shí)p取得最大值，最大值為

25

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，并且設(shè)置了多次最值問(wèn)題的討論，是一道很需要基本功的題目．但是本題思路及方法都屬于常規(guī)套路，綜上是一道質(zhì)量很高的題目．