Question

【題目】已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連結(jié)DE，DE＝．

（1）求證：；

（2）求EM的長(zhǎng)；

（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明：連接AC、EB

∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACE

∴△AMC∽△EMB

∴

∴--------------------------------------------------------3分

（2）解：∵DC是⊙O的直徑

∴∠DEC=90°

∴

∵DE＝，CD=8，且EC為正數(shù)

∴EC=7

∵M為OB的中點(diǎn)

∴BM=2，AM=6

∵，且EM＞MC

∴EM=4------------------------------------------------------------------------------7分

（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F

∵OE=4，EM=4

∴OE=EM

∴OF=FM=1

∴EF=

∴sin∠EOB=---------------------------------------------------------------------10分

【解析】（1）連接A、C，E、B點(diǎn)，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出結(jié)論，根據(jù)圓周角定理可推出它們的對(duì)應(yīng)角相等，即可得△AMC∽△EMB；

（2）根據(jù)圓周角定理，結(jié)合勾股定理，可以推出EC的長(zhǎng)度，根據(jù)已知條件推出AM、BM的長(zhǎng)度，然后結(jié)合（1）的結(jié)論，很容易就可求出EM的長(zhǎng)度；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，通過(guò)作輔助線，解直角三角形，結(jié)合已知條件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各邊的長(zhǎng)度，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，便可求得sin∠EOB的值．