Question

如圖，△ABC中，AB=BC=10，點(diǎn)M、N在BC上，使得MN=AM=4，∠MAC=∠BAN，則△ABC的面積是

 

．

Answer 1

分析：首先由等腰三角形的性質(zhì)求得∠BAC=∠C，又由∠MAC=∠BAN與MN=AM，求得：∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，然后過B作BG⊥AM于G，過C作CH⊥AM于H，由三角函數(shù)的性質(zhì)與余弦定理求得BG，BM，CM與CH的長，則由S_△ABC=

1

2

•AM•（BG+CH），即可求得△ABC的面積．

解答：解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
又∵∠MAC=∠BAN，
∴2∠MAC+∠NAM=∠C，
又∵M(jìn)N=AM，
∴∠NAM=∠ANM，
又∵∠AMN=∠MAC+∠C+∠AMN=180°-2∠NAM，
即∠MAC+∠C=180°-2∠NAM，∠MAC+2∠MAC+∠NAM=180°-2∠NAM，
∴∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，
過B作BG⊥AM于G，過C作CH⊥AM于H，
在Rt△ABG中，AB=10，∠BAG=60°，
∴BG=5

3

，
根據(jù)余弦定理可求得：BM=2

19

，CM=10-2

19

，
∴

CH

BG

=

CM

BM

，
∴CH=

5 3 (10-2 19 )

2 19

，
∴S_△ABC=

1

2

•AM•（BG+CH）=

1

2

×4×[5

3

+

5 3 (10-2 19 )

2 19

]=

50 57

19

．
故答案為：

50 57

19

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理以及三角形面積問題等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．