Question

19．如圖，在菱形ABCD中，AD=4，∠DAB=60°，P是AD的中點(diǎn)，M是對角線AC上的任意點(diǎn)，則PM+MD的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 找出D點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，連接PB交AC于M，此時(shí)MP+MD最小，且PB就是PM+MD的最小值，求出PB即可．

解答 解：連接PB交AC于M，連接DM，DB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴線段AC、BD互相垂直平分，
∴B、D關(guān)于AC對稱，則MD=MB，
∴PM+MD=PM+BM=PB，
即PB就是PM+MD的最小值．
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∵AP=PD，
∴PB⊥AD（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）．
在Rt△BDP中，BD=AD=4，PD=2
∴PB=$\sqrt{B{D}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PM+MD的最小值為2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查軸對稱、最短路線問題、菱形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，確定點(diǎn)M的位置是解答本題的關(guān)鍵．