Question

18．請閱讀下面材料，并回答所提出的問題．
三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線分隊邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．
已知：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$
證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．
∴∠1=∠E，∠2=∠3．----①
∵AD是角平分線，
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠E．----②
又∵AD∥CE，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BD}{DC}$----③
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$．
（1）上述證明過程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫出兩條即可）
（2）用三角形內角平分線定理解答，已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長；
（3）我們知道如果兩個三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請你通過研究△ABBD和△ACD面積的比來證明三角形內角平分線定理．

Answer 1

分析 （1）由比例式$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BD}{DC}$，想到作平行線，用到了平行線的性質定理；只要證明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∥AD，寫出比例式$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，用到了平行線分線段成比例定理（推論）；
（2）利用三角形內角平分線性質定理，列出比例式，代入數(shù)據(jù)計算出結果．
（3）根據(jù)三角形的面積公式進行證明即可．

解答 解：（1）證明過程中用到的定理有：
①平行線的性質定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行線分線段成比例定理；
（2）∵AD是角平分線，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴$\frac{BD}{6-BD}=\frac{7}{4}$，
∴BD=$\frac{42}{11}$（cm）．
（3）∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面積的比=$\frac{\frac{1}{2}BD×h}{\frac{1}{2}DC×h}=\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}AB×h}{\frac{1}{2}AC×h}=\frac{AB}{AC}$，
可得：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$．

點評 此題是一道材料題，根據(jù)材料推得的結果進行解題，主要考查平行線分線段成比例定理的理解及運用．