Question

18．請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．
三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分隊(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$
證明：過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．
∴∠1=∠E，∠2=∠3．----①
∵AD是角平分線，
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠E．----②
又∵AD∥CE，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BD}{DC}$----③
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$．
（1）上述證明過(guò)程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫(xiě)出兩條即可）
（2）用三角形內(nèi)角平分線定理解答，已知，△ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長(zhǎng)；
（3）我們知道如果兩個(gè)三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請(qǐng)你通過(guò)研究△ABBD和△ACD面積的比來(lái)證明三角形內(nèi)角平分線定理．

Answer 1

分析 （1）由比例式$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BD}{DC}$，想到作平行線，用到了平行線的性質(zhì)定理；只要證明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∥AD，寫(xiě)出比例式$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，用到了平行線分線段成比例定理（推論）；
（2）利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，列出比例式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算出結(jié)果．
（3）根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）證明過(guò)程中用到的定理有：
①平行線的性質(zhì)定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行線分線段成比例定理；
（2）∵AD是角平分線，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴$\frac{BD}{6-BD}=\frac{7}{4}$，
∴BD=$\frac{42}{11}$（cm）．
（3）∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面積的比=$\frac{\frac{1}{2}BD×h}{\frac{1}{2}DC×h}=\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}AB×h}{\frac{1}{2}AC×h}=\frac{AB}{AC}$，
可得：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是一道材料題，根據(jù)材料推得的結(jié)果進(jìn)行解題，主要考查平行線分線段成比例定理的理解及運(yùn)用．