Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．
（1）發(fā)現(xiàn)與證明：
發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖1），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：

 

．
②當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖2），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：

 

．
證明：請(qǐng)你選擇上述兩個(gè)發(fā)現(xiàn)中的任意一個(gè)加以證明，選擇①、②證明的滿(mǎn)分分別為4分和6分．（注意：證明前要注明選擇了哪一個(gè)發(fā)現(xiàn)）
（2）引申與運(yùn)用：
引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)（如圖3），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：

 

．
運(yùn)用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖4），則圖中陰影部分的面積和的最大值是

 

cm²．
證明：我選擇

 

進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形是面積都是兩正方形邊長(zhǎng)積的一半，所以相等；
②過(guò)B點(diǎn)作BM⊥AE于M，過(guò)D點(diǎn)作DN⊥GA交GA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，根據(jù)直角可以證明∠MAB=∠DAN，然后證明△AMB與△AND全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BM=DN，有正方形AEFG的邊長(zhǎng)AE=AG，根據(jù)三角形的面積公式即可證明面積相等；
（2）引申：同理②的證明，可以得到兩三角形面積相等；
運(yùn)用：圖中三個(gè)陰影部分的面積都等于△ABC的面積，當(dāng)AB⊥BC時(shí)面積最大，進(jìn)行計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BC⊥ED，
∴S_△ABE=

1

2

AE•AB，S_△ADG=

1

2

AG•AD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：相等；（1分）

②當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：相等．（1分）
證明：我選擇②進(jìn)行證明，
過(guò)B點(diǎn)作BM⊥AE于M，過(guò)D點(diǎn)作DN⊥GA交GA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∵∠BAN+∠DAN=∠MAB+∠BAN=90°，
∴∠MAB=∠DAN，
又∵AB=AD，
∴在△AMB與△AND中，

∠AMB=∠AND=90° ∠MAB=∠DAN AB=AD

，
∴△AMB≌△AND（AAS），
∴BM=DN，
∵S_△ABE=

1

2

×AE×BM，S_△ADG=

1

2

×AG×DN，
∴S_△ABE=S_△ADG；
（證明過(guò)程共（6分），如選擇①證明，給4分）

（2）引申與運(yùn)用：
引申：△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：相等．（2分）
運(yùn)用：根據(jù)前面結(jié)論有：S_△AEN=S_△BFM=S_△DCG=S_△ABC，
∴圖中陰影部分的面積=3S_△ABC，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積最大，最大值是

1

2

×AB×BC=

1

2

×5×3=7.5，
∴圖中陰影部分的面積和的最大值是：7.5×3=22.5cm²．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的邊長(zhǎng)相等，四個(gè)角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．