Question

7．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，AB=5，AC=3，點(diǎn)P在CE的延長線上，過點(diǎn)P作PQ⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)Q，且EP=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示BQ；
（2）如圖2，連接PB，過點(diǎn)B作BH⊥PC于H，當(dāng)PB平分∠CPQ時，求PE的長；
（3）如圖3，過點(diǎn)B作BF⊥AB交PQ于F，∠BEF=∠A，求x的值．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

分析 （1）由△ABC∽△PCQ得$\frac{AB}{PC}=\frac{BC}{CQ}$，列出方程即可解決．
（2）由△ABC∽△BCH得$\frac{AC}{BH}=\frac{AB}{BC}$，列出方程即可解決．
（3）先由△ABC∽△BFQ得$\frac{AB}{BF}=\frac{AC}{BQ}$得BF=$\frac{5}{3}$（$\frac{5}{4}x-2$），再由△ACB∽△EBF得$\frac{AC}{EB}=\frac{BC}{BF}$，列出方程即可解決．

解答 解：（1）如圖1中，在RT△ABC中，∵AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵PQ⊥CQ，
∴∠PQC=∠ACB=90°，
∵AE=EB，
∴CE=EB=AE$\frac{5}{2}$，
∴PCQ=∠ABC，
∴△ABC∽△PCQ，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BC}{CQ}$，
∴$\frac{5}{\frac{5}{2}+x}=\frac{4}{4+BQ}$，
∴BQ=$\frac{4}{5}x-2$，
（2）如圖2中，∵BP平分∠CPQ，BH⊥PC，BQ⊥PQ，
∴BH=BQ=$\frac{4}{5}x-2$，
∵∠ABC=∠HCB，∠BHC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△BCH，
∴$\frac{AC}{BH}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{3}{\frac{4}{5}x-2}=\frac{5}{4}$，
∴x=$\frac{11}{2}$，
∴PE=$\frac{11}{2}$．
（3）如圖3，
∵∠FBQ+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠FBQ，
∵∠ACB=∠EBF=90°，
∴△ABC∽△BFQ，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{AC}{BQ}$，
∴BF=$\frac{5}{3}$（$\frac{4}{5}x-2$）=$\frac{4x-10}{3}$，
∵∠FEB=∠A，∠EBF=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△EBF，
∴$\frac{AC}{EB}=\frac{BC}{BF}$，
∴$\frac{3}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{\frac{4x-10}{3}}$
∴x=5．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，用方程去解決問題，屬于中考常考題型．