Question

5．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點(diǎn)．若AM=2，則①∠CAB=45度；②線段ON的長(zhǎng)為1．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正方形對(duì)角線平分對(duì)角可得答案；
②作MH⊥AC于H，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAH=45°，則△AMH為等腰直角三角形，所以AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AM=$\sqrt{2}$，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得BM=MH=$\sqrt{2}$，則AB=2+$\sqrt{2}$，于是利用正方形的性質(zhì)得到AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$+2，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，所以CH=AC-AH=2+$\sqrt{2}$，然后證明△CON∽△CHM，再利用相似比可計(jì)算出ON的長(zhǎng)．

解答 解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
故答案為：45；

②作MH⊥AC于H，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=$\sqrt{2}$，
∴AB=2+$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，CH=AC-AH=2$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴$\frac{OH}{MH}$=$\frac{CO}{HC}$，即$\frac{NO}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$，
∴ON=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．正方形對(duì)角線互相垂直平分且平分每一組對(duì)角．