Question

1．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，點D是$\widehat{BC}$的中點，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若OF=4，求AC的長度．

Answer 1

分析 （1）先連接OD、AD，根據(jù)點D是$\widehat{BC}$的中點，得出∠DAO=∠DAC，進而根據(jù)內(nèi)錯角相等，判定OD∥AE，最后根據(jù)DE⊥OD，得出DE與⊙O相切；
（2）先連接BC交OD于H，延長DF交⊙O于G，根據(jù)垂徑定理推導可得OH=OF=4，再根據(jù)AB是直徑，推出OH是△ABC的中位線，進而得到AC的長是OH長的2倍．本題也可以過O作OM⊥AC于M，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及垂徑定理進行求解．

解答 解：（1）DE與⊙O相切．
證明：連接OD、AD，
∵點D是$\widehat{BC}$的中點，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE與⊙O相切．

（2）解法1：連接BC交OD于H，延長DF交⊙O于G，
由垂徑定理可得：OH⊥BC，$\widehat{BG}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，
∴$\widehat{DG}$=$\widehat{BC}$，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直徑，
∴BC⊥AC，
又∵OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位線，
∴AC=2OH=8．
解法2：如圖，過O作OM⊥AC于M，則四邊形DOME是矩形，
∴∠DOM=90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠FDO+∠FOD=∠MOA+∠FOD=90°，
∴∠FDO=∠MOA，
在△FDO和△MOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFO=∠OMA=90°}\\{∠FDO=∠MOA}\\{DO=OA}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△MOA（AAS），
∴AM=OF=4，
又∵OM⊥AC，
∴AC=2AM=8．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系以及垂徑定理的運用，在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，通常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．本題也可以根據(jù)△ODF與△ABC相似，求得AC的長．