Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式：
（2）已知點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，并且在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．是否存在D點(diǎn)，使得以點(diǎn)D、E、B為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交點(diǎn)式得到拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4），然后展開(kāi)為一般式得到4a=2，再求出a即可得到拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2；
（2）設(shè)D（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），分類討論：當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方，即1＜m＜$\frac{5}{2}$，如圖1，由于∠DEB=∠BOC，根據(jù)相似三角形的判定方法當(dāng)$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$時(shí)，△EDB∽△OCB；當(dāng)$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$時(shí)，△EDB∽△OBC，再分別利用相似比得到關(guān)于m的方程，再解方程求出m即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方，即m＜1，如圖2，利用同樣的方法求解．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4），即y=ax²-5ax+4a，
則4a=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2；
（2）存在．
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=2，則C（0，2），
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，
設(shè)D（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方，即1＜m＜$\frac{5}{2}$，如圖1，
∵∠DEB=∠BOC，
∴當(dāng)$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$時(shí)，△EDB∽△OCB，即$\frac{-（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2）}{2}$=$\frac{4-m}{4}$，解得m₁=2，m₂=4（舍去），此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）；
當(dāng)$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$時(shí)，△EDB∽△OBC，即$\frac{-（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2）}{4}$=$\frac{4-m}{2}$，解得m₁=5（舍去），m₂=4（舍去）；
當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方，即m＜1，如圖2，
∵∠DEB=∠BOC，
∴當(dāng)$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$時(shí)，△EDB∽△OCB，即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2}{2}$=$\frac{4-m}{4}$，解得m₁=0，m₂=4（舍去），此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
當(dāng)$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$時(shí)，△EDB∽△OBC，即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2}{4}$=$\frac{4-m}{2}$，解得m₁=-3，m₂=4（舍去），此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，14），

綜上所述，滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，14）或（0，2）或（2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定；能利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用相似比建立線段之間的關(guān)系；能利用因式分解法解一元二次方程；學(xué)會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．