Question

18．如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點P在AC上，將△ABP繞頂點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度數(shù)；
（2）當AB=4，AP：PC=1：3時，求PQ的大�。�（提示：設(shè)AP為x，在△ABC中用勾股定理構(gòu)建方程求解）

Answer 1

分析 （1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°．
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=4$\sqrt{2}$，根據(jù)已知條件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．

解答 解：（1）∵△ABP繞頂點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBQ，
∴△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°；

（2）由（1）知，∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°；
∴∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△PCQ是直角三角形．
∵等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB=BC=4，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∵AP：PC=1：3，
∴AP=$\sqrt{2}$，PC=3$\sqrt{2}$，
∴QC=AP=$\sqrt{2}$，
∴PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了勾股定理，等腰直角三角形．解題時，綜合利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．